Tanto o Banco do Brasil S.A. como a Nossa Caixa S.A. são sociedades de economia mista, das quais são acionistas majoritários, respectivamente, a União e o Estado de São Paulo.
A competência para tratar de ações contra o BB e a Nossa Caixa que sejam pertinentes aos expurgos da poupança é da Justiça Estadual, conforme a Súmula 42 do STJ:
"Compete à Justiça Comum Estadual processar e julgar as causas cíveis em que é parte sociedade de economia mista e os crimes praticados em seu detrimento."
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Semelhante é a situação dos bancos privados (Itaú, Bradesco, Unibanco etc.), que não por acaso são também sociedades anônimas. Para estes, a competência é da Justiça Estadual, mais exatamente da Vara Cível.
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Já a Caixa Econômica Federal é uma empresa pública, ou seja, possui capital integralmente público - no caso da União. Note que, diferentemente dos dois bancos mencionados acima, não se trata de uma sociedade anônima.
Assim, a competência para processos envolvendo a Caixa Econômica que tratem de expurgos da poupança é da Justiça Federal, conforme o art. 109, I, da Constituição Federal:
"Aos juízes federais compete processar e julgar:
I - as causas em que a União, entidade autárquica ou empresa pública federal forem interessadas na condição de autoras, rés, assistentes ou oponentes, exceto as de falência, as de acidentes de trabalho e as sujeitas à Justiça Eleitoral e à Justiça do Trabalho; "
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Não confundir ações que tratam dos expurgos do FGTS com as que tratam dos expurgos da poupança.
No caso dos depósitos do FGTS, a gestora é mesmo sempre a Caixa, sendo todas as ações propostas contra esta, na Justiça Federal.
No caso da poupança, o gestor é cada um dos bancos em que foram feitos os respectivos depósitos, e contra eles devem ser propostas as ações.