Ação de guarda de menor.

Estou para ajuizar ação de guarda definitiva de menor, mas pretendo fazê-lo da melhor forma possível. Vamos aos fatos. Sobre a mãe, temos que, em síntese, quando a criança nasceu não se interessou por ela, além de se ter forte suspeita de uso de droga, inclusive, pelo hospital em que a criança ficou internada. Nessa ocasião, exigiu o hospital que somente o pai poderia retirar a criança.

        Nos últimos 7 meses, ela permaneceu aos cuidados da avó (com quem o pai mora), a qual levou ao posto de saúde para que tomasse todas as vacinas, além de outras situações que mereciam uma atenção especial.

        Essa avó é funcionária pública e, portanto, amparada pelo IPSEMG, mas o filho (que é pai da criança) está sem emprego. Assim, entendo melhor pleitear a guarda em nome da avó, pois será amparada pelo plano de saúde desta, inclusive, por justo se tem que assim o seja, tendo em vista que ela cuida e sustenta o pai também. 

       O que pretendo esclarecer:

       Mesmo a criança tendo os pais posso ajuizar ação de guarda para a avó ou seria mais garantido pelo pai? (O que se quer evitar é que a mãe apareça de repente e tente levá-la).       

      Esta ação seria a de guarda e responsabilidade ou só guarda?

      Gostaria muito de ser esclarecido a respeito e desde já agradeço a atenção de todos.