Há anatocismo na Tabela Price?

1) Introdução

A resposta é NÃO. Como demonstrarei a seguir.

Como Perito Judicial, tenho visto afirmações contrárias, mas sem comprovação lógica e técnico-científica. Aliás, exatamente porque ela não existe.

Essas afirmações são da seguinte ordem:

- Existe capitalização como "comprova" a definição constante do livro do Prof. José Dutra Vieira Sobrinho, no seu importante livro de Matemática Financeira.

- A capitalização existe por o cálculo do Valor Presente se faz aplicando taxas de juros compostas, ou exponenciais.

- Há capitalização porque a TIR-Taxa Interna de Retorno aplica a taxa composta ou exponencial.

- A capitalização está "demonstrada" pelo fato de que existe a expressão (1+i)ⁿ na fórmula.

Essas conclusões partem de dois equívocos, a saber:

- A falta de definição precisa, ou até mesmo de conhecimento, dos conceitos de "capitalização" e de "amortização", ou plano de pagamento de empréstimos e financiamentos.

- A aplicação de fórmulas matemáticas que não dizem respeito ao que pretendem provar.

O Autor deste artigo começa afirmando que fórmulas matemáticas são abstrações que precisam ser comprovadas "ex-post".

É a recomendável postura cartesiana no seu primeiro princípio da lógica, o conhecido como "princípio da evidência" ou "princípio da dúvida sistemática".

As afirmações não são verdades apenas porque foram ditas por alguém que tenha credibilidade; exigem comprovação.

As fórmulas matemáticas, também, precisam ser comprovadas.

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2) Capitalização

Tanto a capitalização como a amortização têm definições e regras próprias que as diferenciam e que não se confundem. São processos diferentes.

O sempre citado Prof. José Dutra Vieira Sobrinho omite, no seu livro, a definição de amortização. Mas assim define a capitalização:

"Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido de juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxavaria exponencialmente em função do tempo,"

Como consequência dessa definição, a capitalização consiste em que os saldos em determinado momento são sempre maiores que no momento anterior.

Ou, como ensina Puccini (Abelardo deLima, Matemática Financeira Objetiva e Aplicada – Ed,.Saraiva, 6ª ed. 1999, pg. 14):

"os juros de cada período são somados ao capital para o cálculo de novos juros no período seguinte."

A quantia de R$ 10.000,00 aplicada a 8% por período, em quatro períodos, apresenta os seguintes saldos ao final de cada período considerado, no regime de capitalização composta:

Observa-se que tanto os juros como os saldos ao final de cada período são crescentes, o que não ocorre nos sistemas de amortização, como se verá adiante.

O crescimento do saldo se faz de forma geométrica, ou exponencial, de razão igual a 8%.

Para se obter o montante, ou seja, a soma do principal e juros ao final, aplica-se a conhecida fórmula (1+i)ⁿ

Esta fórmula foi deduzida da realidade prática, ou, em palavras mais simples, de como se comporta o andamento do cálculo na operação.

No caso em estudo, (1+i)ⁿ é igual a:

.(1+8,08)⁴ = 1,360489

i = taxa de juros em forma unitária

n = número de períodos.

Multiplicando-se o valor inicial de R$ 10.000,00 por 1,360489, encontra-se exatamente a quantia de R$ 13.604,89, como acima demonstrado no quadro.

O mesmo ocorre quando se pretende aplicar, em períodos iguais e sucessivos, uma determinada quantia a juros compostos ou capitalizados. O saldo ao final de cada período também é sempre crescente.

Aplica-se, no caso, a fórmula do FAC=Fator de Acumulação Capital, que assim se expressa:

FAC = [(1+i)ⁿ – l] : i

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3) Amortização

Assim como os sistemas de capitalização, os sistemas de amortização, também, se regem por regras próprias que os livros, normalmente, omitem, causando dificuldades conceituais aos estudantes.

Certamente os autores imaginam que os estudantes têm capacidade de análise suficiente para não confundir os dois sistemas, por possuirem características tão claras e diferentes.

Lapponi (Juan Carlos), um importante engenheiro e matemático argentino (Doutor pela Politécnica de S.Paulo e professor de cursos de pós-graduação na FGV-SP e IBMEC-Instituto Brasileiro do Mercado de Capitais), assim esclarece as regras das Amortizações, ou plano de pagamentos de empréstimos e financiamentos, no seu interessante livro "Matemática Financeira usando Excel 5 e 7" (pg,.269).

São duas regras que devem ser obedecidas para que o sistema seja considerado como de amortização, com os seus corolários lógicos:

1ª Regra:

O valor de cada prestação é formado por duas parcelas, uma delas é a devolução do principal ou parte dele, denominada Amortização, e a outra parcela são os Juros que representam o custo do empréstimo; isto é:

Prestação = Amortização + Juros = AM + J

2ª Regra:

-O valor dos juros de cada prestação são sempre calculados sobre o saldo devedor do empréstimo, aplicando uma determinada taxa de juros.

-Da segunda regra obtivemos as seguintes conclusões:

a) No pagamento de cada prestação o devedor paga juros integrais sobre o valor do saldo devedor no início do período que está pagando.

b) Após o pagamento da prestação, e no mesmo dia, o devedor deve somente a parte do capital que ainda não foi amortizado; nesse dia, os juros estão zerados.

c) Em cada data de pagamento, o valor da prestação deve ser maior que o valor dos juros devidos nessa data.

d) Um plano corretamente construido não pode ter nenhuma prestação com valor menor que o valor dos juros calculados sobre o saldo devedor. Portanto, o valor da primeira prestação será sempre maior que o valor dos juros sobre o valor financiado.

As duas consequências das letras a) e b) não são novas. Já estão inseridas no art. 993 do Código Civil Brasileiro de 1916, tempo suficiente para que alguns juristas e peritos não continuem a ter dúvidas sobre a inexistência da capitalização, ou a prática do anatocismo, nos sistemas de amortização. Diz o art. 993:

"Art. 993 – Havendo capital e juros vencidos, o pagamento imputar-se-á primeiro nos juros vencidos, e, depois, no capital, salvo estipulação em contrario, ou se o credor passar a quitação por conta do capital."

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4) Sistemas de Amortização

Os matemáticos com especialização financeira podem criar qualquer tipo de plano de amortização de empréstimos e financiamentos, dos mais simples ou mais sofisticados.

Os mais simples e mais usuais podem ser agrupados em três classificações:

- sistemas de juros constantes (conhecido como sistema americano de amortização);

- sistemas de amortizações constantes, denominado SAC e que tem como uma de suas variantes a sistema SACRE, adotado atualmente pela Caixa Econômica Federal.

- sistemas de prestações constantes, também conhecidos como sistema francês de amortizações ou Tabela Price.

É deste último que passarei a me ocupar..

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5) A Tabela Price

O denominado sistema Price propõe-se a determinar o valor de uma prestação constante, ou seja, igual, para cada um dos pagamentos em cada vencimento.

O valor de cada prestação pode ser calculado tanto através de de um "coeficiente multiplicador", mais conhecido como FRC=Fator de Recuperação de Capital, como de um "coeficiente divisor"; ambos levam ao mesmo resultado, qual seja, o valor da prestação periódica.

Os coeficientes multiplicadores são obtidos da aplicação das fórmulas:

FRC = [(1+i)ⁿ x i] : [(1+i)ⁿ – 1) ou de

FRC = i: [1 – (1+i)-n]

Onde:

i = taxa de juros na forma unitária;

n = períodos

Essa segunda fórmula se obtém pela simplificação algébrica da primeira, através da divisão do dividendo e do divisor pela expressão (1+i)ⁿ, comum aos dois.

Os coeficientes divisores provêm do inverso das duas fórmulas acima, como segue:

FRC = [(1+i)ⁿ – l] : [(1+i)ⁿ x i] ou de

FRC = [1 – (1+i) – n] : i

Alerta-se que essas fórmulas são válidas apenas quando os períodos de vencimentos correspondem ao período da taxa. É comum a sua aplicação por períodos de 30 dias.

Normalmente, o sistema financeiro fixa os vencimentos na mesma data de cada mês, sem a preocupação quanto ao número de dias decorridos entre dois vencimentos.

Entretanto, um bom número de bancos vem fixando a sua taxa para cada período de 30 (trinta) dias, "pro rata temporis"; assim, aplicam taxas diversas, proporcionais ao número de dias efetivamente ocorrido entre dois vencimentos consecutivos (30, 31, 28 ou 29 dias).

Nesses casos, a fórmula correta para determinar o coeficiente divisor é a seguinte:

Coeficiente divisor do principal = (1+i) – m/n

Onde:

i = taxa de juros para cada período de 30 dias;

m = frequência acumulada dos dias decorridos entre os vencimentos até à data considerada

n = 30 dias.

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6) As discussões colocadas inicialmente

6.1) O cálculo do Valor Presente (VP) e da Taxa Interna de Retorno (TIR)

Alguns Peritos têm aplicado a fórmula do Valor Presente, ou Valor Atual, na tentativa de comprovar, por indução, a existência de capitalização composta.

Incidem em dois erros, a saber:

- a fórmula tem aplicabilidade, apenas, para se obter o valor presente, na data inicial ou focal, no momento "0", de uma série de pagamentos periódicos, uniformes ou não. É uma fórmula usada na análise de investimentos,

- taxa acumulada, ou geométrica, não é o mesmo que juros capitalizados

- o valor presente de cada parcela de amortização, quando do cálculo do Valor Presente, se apresenta correto apenas no sentido inverso.

Pode-se estabelecer um plano de pagamentos com taxas geométricas, ou acumuladas, sem que ocorra capitalização de juros.

O que a Súmula 121 do E.STF verbera é a capitalização de juros, quando prescreve:

"121. É vedada a capitalização de juros, ainda que expressamente contratada.".

Assim, se temos um plano de pagamentos cujos vencimentos ocorram a 45 dias, 50 dias e 38 dias de cada vencimento a partir da data inicial, e a taxa de juros de 3% para cada período de 30 dias, as taxas nesses períodos serão:

São taxas aplicáveis "pro rata temporis", por dias corridos.

O fato de se aplicar taxas diversas calculadas de forma geométrica não implica, necessariamente, na prática do anatocismo.

Demonstro, utilizando o sistema americano de amortizações, para um financiamento de R$ 10.000,00, utilizando os prazos acima mencionados:

.primeiro vencimento a 45 dias, taxa 4,53% sobre R$ 10.000,00:

Juros de R$ 453,00 pago no mesmo dia do débito, permanecendo o saldo devedor de R$ 10.000,00.

.segundo vencimento a 50 dias do primeiro vencimento, taxa de 5,05%:

Juros de R$ 505,00, debitado no vencimento e pago na mesma data, restando saldo devedor inicial de R$ 10.000,00.

.terceiro vencimento a 38 dias do segundo, taxa de 3,81%:

Juros de R$ 382,00 debitado no vencimento e pago na mesma data, desta vez juntamente com o débito de principal: R$ 10.382,00.

Não ocorreu a prática do anatocismo, pois os juros foram pagos e não capitalizados. Os juros foram contados, sempre, sobre o principal do financiamento.

Anatocismo consiste em:

"Capitalização de juros, vencendo novos juros. É a contagem de juros sobre juros já produzidos pelo capital empregado." (cfr. Novo Dicionário Jurídico Brasileiro, do jurista José Náufel)

É a clássica definição de juros compostos.

É a prática de cálculo de juros sobre juros e não de taxas sobre taxas.

Recorro, novamente, a Puccini (Abelardo de Lima..), um dos melhores e mais conceituados matemáticos do Brasil, professor da FGV-Rio.

Ensina ele, no livro já citado, à pg. 83, com grifos meus:

"No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no final do período, devem ser somados ao capital."

É evidente a ressalva do ilustre professor, dispensando demonstração.

Logo, de acordo com a boa lógica, se os juros foram pagos no vencimento não há o que capitalizar.

Não são as taxas de juros e nem os períodos de vencimentos que caracterizam a capitalização composta. Os contratos, data vênia e salvo melhor entendimento, podem estabelecer livremente tanto as taxas aplicáveis em cada período de vencimento, como os vencimentos, que não têm a obrigação de ser a cada 30 (trinta) dias.

O importante é não adicionar juros ao principal e, sobre o montante (principal + juros), calcular novos juros.

Infelizmente, a maioria dos livros de matemática financeira contêm imprecisões conceituais que levam a interpretações falsas.

No que tange à TIR-Taxa Interna de Retorno, esse cálculo se destina a apurar qual a taxa efetiva de um fluxo de caixa, verificando, ao final, em que essa taxa é diferente da taxa de atratividade prevista para um investimento.

Tal apuração da TIR é feita por taxas compostas, ou que não significa, necessariamente, juros compostos, como já foi dito.

Como aliás não poderia deixar de ser: a matemática financeira cuida do valor do dinheiro no tempo.

No caso da Tabela Price, essa taxa é previamente conhecida, dispensando novos cálculos que apenas confirmam.

          6.2) Alegação de que se existe (1 + i)ⁿ em uma fórmula, há capitalização composta

A alegação é tão pueril que nem mereceria contestação.

A fórmula da água é:

Água = H₂O

Ou seja, duas partículas de hidrogênio e uma de oxigênio.

Nem por isso água é só hidrogênio ou só oxigênio.

Analisando a fórmula de cálculo do valor da prestação pelo Sistema Price,verifica-se que tanto no numerador como no denominador existe a expressão (1+i)ⁿ é modificada.

No numerador, pelo "redutor" "i", e no denominador pela dedução de uma unidade (1) da expressão.

O conjunto da fórmula é que deve ser analisado, pois, por exemplo, (1+i)ⁿ não é a mesma coisa que [(1+i)ⁿ x i].

Parece bastante claro que as duas fórmulas não são iguais, não podendo, por isso mesmo, dizer-se que se trata de capitalização.

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7) O sistema Price e a prova do pudim

Este item completará a demonstrará de que não há capitalização no denominado sistema PRICE.

Chegou a hora de provar que não há capitalização, ou prática do anatocismo, na denominada Tabela Price.

É o que os economistas costumam chamar de "a prova do pudim": só se sabe se o pudim é saboroso depois que se come.

Tomemos um caso hipotético de aplicação prática com as seguintes características:

-Valor do financiamento: R$ 10.000,00

-Taxa de Juros: 2% ao mês

-Prazo: 4 anos

-Prestação: R$ 2.626,24 do tipo postecipada.

Obtida multiplicando o valor do financiamento pelo FRC-Fator de Recuperação de Capital de 0,262624.

Pode-se determinar, de antemão, as parcelas de juros e amortizações contidas em cada prestação, cujas parcelas não são absolutamente iguais em cada vencimento.

Na Tabela Price (sistema francês de amortizações) os juros são decrescentes, assim como o saldo devedor, enquanto as amortizações são crescentes. Isso ocorre exatamente porque os juros não são capitalizados, mas contados apenas sobre o principal reduzido de amortizações crescentes.

No exemplo em estudo, as parcelas de juros e amortizações em cada parcela são as seguintes:

Prestação nº	Prestação	Juros	Amortização
1	R$ 2.626,24	R$ 200,00	R$ 2.426,24
2	R$ 2.626,24	R$ 151,48	R$ 2.476,76
3	R$ 2.626,24	R$ 101,09	R$ 2.524,26
4	R$ 2.626,24	R$ 51,49	R$ 2.574,75

Essas quantias podem ser facilmente obtidas antecipadamente com o uso de uma calculadora financeira HP-12-C, ou por uma planilha em Excel.

Na calculadora, para tanto, mantendo os valores inseridos no cálculo das prestações, em seguida:

Tecle 1 f AMORT, para obter os juros

Tecle X>< obtendo o valor da amortização (tecla no cruzamento da Quarta linha com a Quarta coluna)

Tecle RCL PV obtendo o saldo devedor.

Prossiga no cálculo teclando sempre 1, inicialmente e constate a exatidão de cada parcela de juros, amortização e do saldo devedor após a amortização, como demonstrado no cálculo acima.

Para dirimir de vez eventuais dúvidas, elaborei o demonstrativo contábil anexo, onde está demonstrado todo o andamento do financiamento hipotético analisado.

Verifica-se que:

o débito de juros é feito na data do vencimento de cada parcela, incidente sobre o saldo devedor anterior esses juros são pagos na mesma data, através do destaque da parcela a ele destinado, do t otal da prestação a diferença (parcela menos juros) destina-se à amortização do principal.

Os juros são sempre decrescentes, o que não ocorreria se houvesse capitalização, quando eles seriam sempre crescentes.

As amortizações são sempre crescentes, em progressão geométrica cuja razão é igual à taxa de juros,.

Os saldos são decrescentes, da mesma forma dos juros, o que demonstra que os juros não são capitalizados.

Se o sistema Price for corretamente aplicado, com a correção incidindo igualmente sobre o valor de cada prestação e do saldo devedor, não ocorrerá qualquer resíduo ao final.

Pode acontecer que o saldo devedor seja crescente, em algum período do financiamento. Esse crescimento (que logo se reverterá) se deve ao fato de que, no período, a correção monetária do saldo devedor foi maior que a parcela de amortização. Mas o saldo final será sempre igual a ZERO.

O Autor deste estudo se coloca a disposição para quaisquer esclarecimentos complementares, nos exames de dúvidas sobre casos particulares, quando certamente demonstrará que erro não decorre do sistema denominado Price, para da sua indevida aplicação.

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ANEXO

SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (Tabela Price)
Demonstrativo contábil da evolução de um Financiamento como segue:
a) Valor = R$ 10.000,00
b) Taxa de juros ao mês: 2%
c) Prazo: 4 meses
d) Prestação: R$ 2.626,24
Datas	Histórico	Débito	Crédito	Saldo
########	Débito do financiamento	10.000,00	---	10.000,00
########	Juros de 2% s/saldo devedor	200,00	---	10.200,00
########	Parte da prest. De R$ 2.626,24	---	---	-
---	em pagamento dos juros	---	200,00	10.000,00
########	Idem em amortização	---	2.426,24	7.573,76
########	Juros de 2% s/saldo devedor	151,48	---	7.725,24
########	Parte da prest. De R$ 2.626,24	---	---	-
---	em pagamento dos juros	---	151,48	7.573,76
########	Idem em amortização	---	2.474,76	5.099,00
########	Juros de 2% s/saldo devedor	101,98	---	---
########	Parte da prest.de R$ 2.626,24	---	---	---
---	em pagamento dos juros	---	101,98	5.099,00
########	Idem em amortização	---	2.524,26	2.574,74
########	Juros de 2% s/saldo devedor	51,49	---	---
########	Parte da prest.de R$ 2.626,24	---	---	---
---	em pagamento dos juros	---	51,49	2.574,74
########	Idem em amortização	---	2.574,75	(0,01)
Nota importante: Os números que os juros debitados são pagos no mesmo dia do débito, não são, portanto, capitalizados. Não existe, assim, a prática do anatocismo.