Uma das cláusulas pétreas da Matemática Financeira é a de que dois ou mais valores, só e exclusivamente, são iguais entre si, se tiverem o mesmo valor nominal e se referirem à mesma data focal. Assim, somente podem ser processados ou comparados, algebricamente, os valores que estiverem situados na mesma data e sob a mesma taxa de juros.
Em essência, para se comparar o custo de determinadas operações financeiras, especialmente aquelas que contemplam diversos pagamentos ou recebimentos, é preciso elaborar a equivalência de fluxos de caixa, que é o encontro dos diversos valores envolvidos, na mesma data.
Em Matemática Financeira, a expressão “capitalização de juros” encontra-se diretamente ligada aos sistemas ou métodos de cálculos, através dos quais os capitais são remunerados. Juros compostos são capitalizados período a período, de forma exponencial. Juros simples são apropriados de forma linear.
Amortização é a operação que consiste na extinção gradativa de uma dívida, por meio de pagamentos parcelados, ditos prestações, sendo mais comum o caso em que tais prestações são constantes, séries finitas, em períodos fixos, com pagamentos postecipados (ao final de cada período).
As prestações devem ser suficientes a reembolsar o capital cedido e seus respectivos juros. Ou seja, ao invés de um único pagamento, ao final do prazo predeterminado, o valor financiado deve ser resgatado em valores fixos periódicos, iguais entre si, de tal modo que a soma destas prestações atualizadas se equiparem ao valor futuro. Por corolário lógico, se o valor futuro tiver sido obtido de forma composta, a prestação periódica também conterá juros compostos. E, se o valor futuro tiver sido construído de forma linear, a prestação conterá juros simples.
É consagrado por grandes autores em Matemática Financeira que a Tabela Price é o método perfeito para a quitação a juros compostos, seja pelo valor da prestação, como pelos saldos devedores a partir do valor das cotas de juros e de amortização em cada parcela.
Conforme ampla e consistentemente comprovado por David Wilkie, John Carr, San Thiago, Cavalheiro, Meschiatti Nogueira, Edson Rovina, Anísio Castelo Branco, Remo Dalla Zanna, Alcio Figueiredo, Frank Michael Forger e Paulo Durigan, dentre outros, a prestação exata para a quitação a juros simples é dada pelo Método Gauss, que, para cálculo das cotas de juro em cada parcela, utiliza o índice ponderado, com base nas progressões geométricas.
Com a devida vênia, há métodos pretensamente de quitação a juros simples – MAJS – Método de Amortização a Juros Simples, MPC-JS – Método da Prestação Constante a Juros Simples, SAL – Sistema de Amortização Linear etc. – que não conduzem a soluções exatas, seja quanto aos valores das prestações como dos saldos devedores, cotas de juros e de amortização em cada parcela.
Cabe ainda dizer que, com base na cláusula pétrea referida no primeiro parágrafo, os saldos devedores apurados pelo Método Gauss não são corretos, assim como também pelo SAC a Juros Simples.
O autor deste artigo desenvolveu e sintetizou o MÉTODO SIMPLEX OU DE QUITAÇÃO A JUROS SIMPLES (MQJS)
Sob o prisma de que dois ou mais valores, só e exclusivamente, são iguais entre si se tiverem o mesmo valor nominal e se referirem à mesma data focal, em cada momento, a juros simples, através do encontro de contas, cotejo entre entradas e saídas, é possível apurar o valor das cotas de juros e as de amortização contidas em cada prestação, e, por consequência, os saldos devedores intermediários, entre o instante zero e o instante “n”.
Para valor presente PV = R$10.000,00, prazo n = 7, taxa de juros i% = 5%, e prestação PMT (obtida por Gauss) = R$1.677,02; por equivalência de fluxos de caixa, ao final do período 1, o saldo devedor a JUROS SIMPLES é
SD1 = 10.000,00x[1+(5%x1)] – 1.677,02x[1+(5%x0)] = 10.500,00 – 1.677,02
SD1 = 8.822,98
Ao final do período 2, o saldo devedor equivale a
SD2 = 10.000,00x[1+(5%x2)] – 1.677,02x[1+(5%x1)] – 1.677,02x[1+(5%x0)]
SD2 = 11.000,00 – 1.760,87 – 1.677,02
SD2 = 7.562,11
E assim por diante:
SD3 = 11.500,00–1.844,72–1.760,87–1.677,02 = 6.217,39
SD4 = 12.000,00–1.928,57–1.844,72–1.760,87–1.677,02 = 4.788,82
SD5 = 12.500,00–2.012,42–1.928,57–1.844,72–1.760,87–1.677,02 = 3.276,40
SD6 = 13.000,00–2.096,28–2.012,42–1.928,57–1.844,72–1.760,87–1.677,02 = 1.680,12
SD7=13.500,00–2.180,13-2.096,28-2.012,42–1.928,57–1.844,72–1.760,87–1.677,02 = 0,00
A cota de amortização contida em cada prestação resulta da diferença entre os saldos devedores, assim como a diferença entre a prestação e cota de amortização resulta na cota de juros.
SD0 – SD1 = 1.177,02 = A1 J1 = PMT – A1 = 500,00
SD1 – SD2 = 1.260,87 = A2 J2 = PMT – A2 = 416,15
SD2 – SD3 = 1.344,72 = A3 J3 = PMT – A3 = 332,30
SD3 – SD4 = 1.428,57 = A4 J4 = PMT – A4 = 248,45
SD4 – SD5 = 1.512,42 = A5 J5 = PMT – A5 = 164,60
SD5 – SD6 = 1.596,27 = A6 J6 = PMT – A6 = 80,75
SD6 – SD7 = 1.680,12 = A7 J7 = PMT – A7 = -3,11
Do desenvolvimento algébrico retro apresentado, na forma simples, também foi possível deduzir a fórmula dos juros em cada um dos períodos, que igualmente se constitui em algoritmo de fácil aplicação:
ALGORITMO JQS – “JURO QUE É SIMPLES!”
Jn = i% . (PV – ∑PMT1=>n-1)
ou
Jn = i% . (SDn-1 – ∑J1=>n-1)
Em assim sendo:
J1 = 5% x [10.000,00 – 1.677,02 (1 -1)] = 5% x 10.000,00 = 500,00
A1 = PMT – J1 = 1.677,02 – 500,00 = 1.177,02
SD1 = SD0 – A1 = 10.000,00 – 1.177,02 = 8.822,98
J2 = 5% x [10.000,00 – 1.677,02 (2 -1)] = 5% x (10.000,00 – 1.677,02)
J2 = 5% x 8.322,98 = 416,15
A2 = PMT – J2 = 1.677,02 – 416,15 = 1.260,87
SD2 = SD1 – A2 = 8.822,98 – 1.260,87 = 7.562,11
J3 = 5% x [10.000,00 – 1.677,02 (3 -1)] = 5% x (10.000,00 – 3.354,04)
J3 = 5% x 6.645,96 = 332,30
A3 = PMT – J3 = 1.677,02 – 332,30 = 1.344,72
SD3 = SD2 – A3 = 7.562,11 – 1.344,72 = 6.217,39
J4 = 5% x [10.000,00 – 1.677,02 (4 -1)] = 5% x (10.000,00 – 5.031,06)
J4 = 5% x 4.968,94 = 248,45
A4 = PMT – J4 = 1.677,02 – 248,45 = 1.428,57
SD4 = SD3 – A4 = 6.217,39– 1.428,57 = 4.788,82
J5 = 5% x [10.000,00 – 1.677,02 (5 -1)] = 5% x (10.000,00 – 6.708,08)
J5 = 5% x 3.291,92 = 164,60
A5 = PMT – J5 = 1.677,02 – 164,60 = 1.512,42
SD5 = SD4 – A5 = 4.788,82– 1.512,42 = 3.276,40
J6 = 5% x [10.000,00 – 1.677,02 (6 -1)] = 5% x (10.000,00 – 8.385,10)
J6 = 5% x 1.614,90 = 80,75
A6 = PMT – J6 = 1.677,02 – 80,75 = 1.596,27
SD6 = SD5 – A6 = 3.276,40 – 1.596,27 = 1.680,12
J7 = 5% x [10.000,00 – 1.677,02 (7 -1)] = 5% x (10.000,00 – 10.062,12)
J7 = 5% x -62,12 = -3,11
A7 = PMT – J7 = 1.677,02 – -3,11 = 1.680,12
SD7 = SD6 – A7 = 1.680,12 – 1.680,12 = 0,00
Portanto, exceto nos momentos inicial e final, não há correspondência entre os saldos devedores apurados pelas progressões aritméticas (Gauss) e pela equivalência de fluxos de caixa (SIMPLEX).
O segundo método, SIMPLEX ou MQJS, apresenta saldos devedores parciais com valores reais, efetivos, ligeiramente maiores. Também se alteram os valores das cotas de juro e de amortização contidas em cada prestação.
Importante notar que a forma alternativa do SIMPLEX / MQJS, de calcular os saldos devedores intermediários, por juros simples, atende ao requisito dos tantos que exigem que a cota dos juros contida na primeira prestação seja exatamente igual ao produto entre a taxa de juros e o valor presente. Neste caso, 10.000,00 x 5% = 500,00.
A tabela SIMPLEX ou MQJS contendo saldo devedor, cotas de juro e de amortização, nada mais é do que a expressão de um algoritmo, conjunto de regras e operações próprias para se fazer os cálculos de forma facilitada, com número finito de etapas.
Mas o algoritmo não expressa a base analítica que originou o procedimento.
(1) Cálculo da prestação periódica a partir da fórmula geral de Gauss
(2) Cálculo da cota de juros, aplicada a taxa sobre o saldo devedor
Jn = i% . (PV – ∑PMT1=>n-1)
ou
Jn = i% . (SDn-1 – ∑J1=>n-1)
(3) A cota de amortização resulta da diferença entre o valor da prestação e a cota de juros
A1 = SD0 – J1
(4) O saldo devedor do período seguinte é igual à diferença entre o saldo devedor anterior e a cota de amortização
SD1 = SD0 – A1
(5) Repete-se os passos 2 a 4, em looping, até a data focal n.
Em qualquer data focal do financiamento, o saldo devedor será a diferença entre o capital inicial atualizado por juros simples até data em análise e o resultado da soma das prestações vencidas capitalizadas por juros simples também até a data atual.
O valor do juro simples em cada data é obtido mediante aplicação da taxa contratada sobre a diferença atualizada entre o saldo devedor anterior e o somatório dos juros incidentes sobre as prestações anteriores.
Observe-se que a capitalização simples em cada período é retratada pelo expurgo dos juros anteriores.
Tomando-se como exemplo PV = 10.000; i% = 5%; n = 7, PMT = 1.677,02, a obtenção dos juros e dos saldos devedores em cada data, de forma a dissecar os elementos do cálculo, tal como se fosse uma ultrassonografia, ocorre como segue.
Momento 0:
PV0: 10.000,00 (capital inicial), sem ocorrência de prestação ou de juros vencidos
SD0 = 10.000,00.
Momento 1:
J1 = SD0 x 5% = 10.000,00 x 5% = 500,00
PV1: 10.000,00 x 1,05 = 10.500,00
PMT1: 1.677,02 x [1+ (5% x 0)] = 1.677,02 x 1,00 = 1.677,02
SD1 = 10.500,00 – 1.677,02 = 8.822,98
Momento 2:
J2 = (SD1 – ∑J1=>1) x 5% = (8.822,98 - 500,00) x 5% = 416,15
PV2: 10.000,00 x 1,10 = 11.000,00
PMT1: 1.677,02 x 1,05 = 1.760,87
PMT2: 1.677,02 x 1,00 = 1.677,02
SD2 = 11.000,00 – 1.760,87 – 1.677,02 = 7.562,11
Momento 3:
J3 = (SD2 – ∑J1=>2) x 5% = (7.562,11 – 500,00 – 416,15) x 5% = 332,30
PV3: 10.000,00 x 1,15 = 11.500,00
PMT1: 1.677,02 x 1,10 = 1.844,72
PMT2: 1.677,02 x 1,05 = 1.760,87
PMT3: 1.677,02 x 1,00 = 1.677,02
SD2 = 11.500,00 – 1.844,72 - 1.760,87 – 1.677,02 = 6.217,39
Momento 4:
J4 = SD3 – ∑J1=>3) x 5% = (6.217,39 – 500,00 – 416,15 – 332,30) x 5% = 248,45
PV4: 10.000,00 x 1,20 = 12.000,00
PMT1: 1.677,02 x 1,15 = 1.928,57
PMT2: 1.677,02 x 1,10 = 1.844,72
PMT3: 1.677,02 x 1,05 = 1.760,87
PMT4: 1.677,02 x 1,00 = 1.677,02
SD4 = 12.000,00 – 1.928,57 - 1.844,72 - 1.760,87 – 1.677,02 = 4.788,82
Momento 5:
J5 = (SD4 – ∑J1=>4) x 5% = (4.788,82 - 500,00 – 416,15 – 332,30 – 248,45) x 5% = 164,60
PV5: 10.000,00 x 1,25 = 12.500,00
PMT1: 1.677,02 x 1,20 = 2.012,42
PMT2: 1.677,02 x 1,15 = 1.928,57
PMT3: 1.677,02 x 1,10 = 1.844,72
PMT4: 1.677,02 x 1,05 = 1.760,87
PMT5: 1.677,02 x 1,00 = 1.677,02
SD5 = 12.500,00 – 2.012,42 – 1.928,57 - 1.844,72 - 1.760,87 – 1.677,02 = 3.276,40
Momento 6:
J6 = (SD5 – ∑J1=>5) x 5% = (3.276,40 - 500,00 – 416,15 – 332,30 – 248,45 – 164,60) x 5% = 80,75
PV6: 10.000,00 x 1,30 = 13.000,00
PMT1: 1.677,02 x 1,25 = 2.096,27
PMT2: 1.677,02 x 1,20 = 2.012,42
PMT3: 1.677,02 x 1,15 = 1.928,57
PMT4: 1.677,02 x 1,10 = 1.844,72
PMT5: 1.677,02 x 1,05 = 1.760,87
PMT6: 1.677,02 x 1,00 = 1.677,02
SD6 = 13.000,00 – 2.096,27 – 2.012,42 – 1.928,57 - 1.844,72 - 1.760,87 – 1.677,02 = 1.680,12
Momento 7:
J7 = SD6 x – ∑J1=>6) x 5% = (1.680,12 - 500,00 – 416,15 – 332,30 – 248,45 – 164,60 – 80,75) x 5% = -3,11
PV7: 10.000,00 x 1,35 = 13.500,00
PMT1: 1.677,02 x 1,30 = 2.180,12
PMT2: 1.677,02 x 1,25 = 2.096,27
PMT3: 1.677,02 x 1,20 = 2.012,42
PMT4: 1.677,02 x 1,15 = 1.928,57
PMT5: 1.677,02 x 1,10 = 1.844,72
PMT6: 1.677,02 x 1,05 = 1.760,87
PMT7: 1.677,02 x 1,00 = 1.677,02
SD7 = 13.500,00 – 2.180,12 – 2.096,27 – 2.012,42 – 1.928,57 - 1.844,72 - 1.760,87 – 1.677,02 = 0,00
Pode-se analisar o comportamento dos juros de forma mais detalhada.
O valor do juro simples em cada data é obtido pela diferença entre mediante aplicação da taxa contratada sobre a diferença entre o capital inicial e o somatório das prestações dos períodos anteriores.
O juro simples de cada período resulta da aplicação da taxa contratada sobre a diferença entre a parcela de juro incidente sobre o capital inicial e o somatório dos juros incidentes sobre as prestações anteriores, entre o momento “1” e o “m”.
O juro de cada período, a partir do primeiro, resulta da aplicação da taxa capitalizada de forma simples sobre a diferença entre o capital inicial e o somatório do valor das prestações entre o momento “1” e o “m”.
Jm = JPV – ∑JPMT1=>m
Momento 1:
J1 = JPV1 – ∑JPMT1=>1
PV . i% =10.000,00 x 5% = 500,00
PMT1 . i% = 1.677,02 x 0% = 0,00 x 5% = 0,00
500,00 – 0,00 = 500,00
Momento 2:
J2 = JPV2 – ∑JPMT1=>2
PV . i% =10.000,00 x 5% = 500,00
PMT1 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT2 . i% = 1.677,02 x 0% = 0,00
500,00 – 83,85 – 0,00 = 416,15
Momento 3:
J3 = JPV3 – ∑JPMT1=>3
PV . i% =10.000,00 x 5% = 500,00
PMT1 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT2 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT3 . i% = 1.677,02 x 0% = 0,00
500,00 – 83,85 – 83,85 – 0,00 = 332,30
Momento 4:
J4 = JPV4 – ∑JPMT1=>4
PV . i% =10.000,00 x 5% = 500,00
PMT1 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT2 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT3 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT4 . i% = 1.677,02 x 0% = 0,00
500,00 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 0,00 = 248,45
Momento 5:
J5 = JPV5 – ∑JPMT1=>5
PV . i% =10.000,00 x 5% = 500,00
PMT1 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT2 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT3 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT4 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT5 . i% = 1.677,02 x 0% = 0,00
500,00 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 0,00 = 164,60
Momento 6:
J6 = JPV6 – ∑JPMT1=>6
PV . i% =10.000,00 x 5% = 500,00
PMT1 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT2 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT3 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT4 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT5 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT6 . i% = 1.677,02 x 0% = 0,00
500,00 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 0,00 = 80,75
Momento 7:
J7 = JPV7 – ∑JPMT1=>7
PV . i% =10.000,00 x 5% = 500,00
PMT1 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT2 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT3 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT4 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT5 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT6 . i% = 1.677,02 x 5% = 83,85
PMT7 . i% = 1.677,02 x 0% = 0,00
500,00 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 83,85 – 0,00 = -3,11
Assim, em contraposição ao MQJC (Tabela Price), que utiliza juros compostos (ou capitalizados: anatocismo), e se baseia na soma dos termos de uma progressão geométrica (crescimento exponencial, mediante potenciação da taxa de juros), a ÚNICA ALTERNATIVA para amortização, sob juros simples, de um determinado montante ou valor futuro (FV), obtido a partir de um capital ou valor presente (PV) a uma determinada taxa de juros (i%), que será pago num prazo (n), mediante uma série uniforme de prestações (PMT), calculadas corretamente pelo Método Gauss, postecipadas (ao final de cada um dos períodos de mesma duração), sucessivas e de valores constantes e iguais entre si, agregando capital e juros em cada prestação, e que, no final do prazo, seja paga a totalidade de capital mais juros, de forma linear, dentro do regime de juros simples, é o SIMPLEX ou MQJS – MÉTODO DE QUITAÇÃO A JUROS SIMPLES.
O que se fez foi a aplicação de regra basilar, de que “dois valores somente podem ser comparados ou processados se estiverem no mesmo momento “.
Não se trata de nenhuma grande descoberta matemática, mas apenas o resultado da observação vigilante do pedreiro se aliou à ciência do mestre e do arquiteto.
Não é tão fácil, mas JURO QUE É SIMPLES!
