A parte que a juíza decidiu que seria??? E o poderá significa que não é obrigatório? A empresa reclamada poderá não cumprir enquanto rola o recurso sem ser "obrigada"?

parte que a juíza decidiu que seria??? Ora! Aquilo que o juiz reconheceu é deu na sentença, ex se vc pediu horas extras...e ela deu...então é isso que "pode ", executar, os demais pedidos que a juíza não concedeu é o que advogado pode recorrer e será definido no recurso

Mas nessa situação a empresa já está obrigada a cumprir a parte que ela deferiu?

A empresa pode aguardar que advogado requeira o cumprimento da sentença...