ônus de sucumbência

ônus é um encargo; sucumbência é perder.

Assim, o ônus da sucumbência é a o encargo que se tem por perder uma ação, no todo ou em parte.

Essa regra vale para as duas partes (autor e réu).

Por exemplo: peço ao juiz A, B e C. Se eu ganho A e C, fui sucumbente em B. Logo, meu advogado ganha 2/3 de honorários e o outro ganha 1/3, que tenho de pagar.

Há exceção se a parte tiver Assistência Judiciária Gratuita, para quem não tem condições de pagar um advogado. Nesse caso ela fica isenta dos honorários e custas do processo se perder.

Isso tudo, em termos rápidos falando, porque na prática é um pouco mais complicado.

Num processo judicial, a decisão proferida pelo magistrado acarreta prejuízo para uma das partes ou para ambas proporcionalmente.
Se uma pessoa (autor) ingressa na Justiça para defender seu interesse (seu direito), e o Poder Judiciário, após a manifestação e defesa da parte contrária (réu), não o reconhece, haverá a sucumbência do autor da demanda. Caso contrário haverá a sucumbência do réu (ou seja, se a decisão for favorável ao autor da demanda). Ocorre casos em que o direito do autor é reconhecido apenas parcialmente e, nesse caso, ambos, tanto o autor como o réu, serão sucumbentes.
O ônus da sucumbência é o pagamento pela parte cuja decisão lhe foi desfavorável, pelas custas e despesas do processo, bem como pela remuneração do patrono (advogado) da parte que venceu a demanda.
Exemplo: "A" ingressa com ação de cobrança em relação a "B". "B" contesta a ação dizendo que nada deve a "A". Após a produção das provas o Juiz decide que "A" tem razão e condena "B" ao pagamento das custas e despesas processuais e os honorários do advogado contratado por "A". Esses gastos suportados por "B" é o ônus da sucumbência.
Caso o Juiz decidisse que, apesar de "B" estar devendo "A", este também é devedor daquele e os valores deverão ser compensados, poderá condenar ambos a arcar com as custas e despesas processuais, respondendo ambos pelos honorários do advogado que cada um contratou.
Portanto, o ônus da sucumbência serve para recompor o prejuízo sofrido pelo vencedor no processo, com as custas e despesas processuais e com os honorários do profissional que contratou.
Espero ter esclarecido.

Parabéns, ótima explicação