Sandra;

O caminho é executar judicialmente o contrato cobrando os alugueis que faltam, caso ainda nao tenha ocorrido a entrega das chaves, ou a multa contratual pela desocupação prematura, bem como, as contas que nao foram pagas.

e como devo prosseguir para execução do processo, é no próprio cartório? onde devo ir

Contrate um advogado.

quer dizer que ainda vou ter que gastar ....isso é Brasil

se quiser pode ir no cartório de protestos e protestar a dívida (o nome do devedor) vai dar uma dorzinha de cabeça para sua ex inquilina!

Perdão, mas a senhora como Locadora, não deveria ter recebido as chaves, sem que antes a locatária comprovasse os pagamentos das contas de consumo.

O jeito agora é contratar um advogado para executar a dívida.

Boa Sorte.