O entendimento atual da jurisprudência é de que cabem danos morais no seu caso. Eu processaria os dois.

Entendo que o Banco não tem culpa, pois o cheque é ordem de pagamento à vista, porém, quem apresentou antes pode sim ser processado.

Boa noite Luciano! Conforme entendimento sumulado pelo STJ, a apresentação antecipada de cheque pré-datado caracteriza dano moral, vide súmula 370.

Quanto ao polo passivo da ação, concordo com o Dr. Thyago, por ser o cheque ordem de pagamento à vista, ainda que pré-datado, a obrigação do banco é de pagar a quantia contida no título de crédito, logo você deverá propor uma ação de Reparação de Danos em face do FORNECEDOR.