Quando se assina um contrato normalmente se faz em duas vias, uma de cada parte. Portanto, sim, o empregador deve fornecer a via do contrato assinado pelo empregado.

Mas e quando a empresa se recusa?

Todo empregado tem o direito a segunda via do contrato de trabalho, assinada por ambos as partes. Caso a recusa da empresa, sugiro a você que procure o auditor fiscal ministério do trabalho e faça uma denúncia contra a empresa.

Não recebi a cópia do meu contrato ainda poderei solicitar depois que sai da empresa para resolver outras questões com a empresa?