Se no contrato estiver previsto cláusula nesse sentido (de cobrança de IPTU ), ele poderá sim, atribuir essa responsabilidade pra você.

Mas o apto não possui registro na prefeitura. Não existe cobrança de IPTU ao apto. ...Existe carne para a loja que fica no térreo.

O inquilino só paga IPTU ao locador se tal obrigação estiver em contrato. Além disso, para ser devido tem haver a efetiva cobrança do tributo pelo município, de modo que a) o inquilino pague-o diretamente no banco ou b) ele faça a restituição dos valores pagos pelo locador. Se o locador não paga IPTU do imóvel locado, ele não pode cobrar qualquer valor a esse título.