Caso o empregador não pague o INSS do empregado, existe alguma forma em que o empregado possa pagar do próprio bolso o valor devido para não perder o tempo de contribuição???

Não. Não existe forma de o empregado pagar do próprio bolso o período em que trabalhou e não foi recolhido pelo empregador. Ao empregado só resta provar o tempo trabalhado por qualquer meio sendo o mais comum anotações na carteira do trabalho com data de entrada e saída das empresas em que trabalhou. Em caso de dúvidas sobre a carteira de trabalho outras provas como contracheque (horelite) podem esclarecer o vínculo. Na realidade o trabalhador deve guardar provas materiais contemporâneas do período trabalhado caso haja falhas de informação do CNIS dp INSS que desde 1999 as empresas tem obrigação de informar através do aplicativo SEFIP informado pelas empresas a cada dia 7 do mes seguinte ao da obrigação de pagar INSS e FGTS. A GFIP é o documento gerado pelo SEFIP mês a mês e uma vez gerado é transmitido pela empresa para alimentar os bancos de dados de FGTS na Caixa Econômica Federal, para o banco de dados da Receita Federal sendo informada mês a mês as remunerações de empregados e outros tipos de trabalhadores da empresa. Dando condições à Receita de comparar o valor da contribuição informada em GFIP com o valor efetivamente pago pela empresas por meio de Guia da Previdência Social (GPS). Havendo diferença entre o valor da GFIP e da GPS e sendo esta diferença positiva indicando que o valor declarado em GFIP como devido é superior ao pago em GPS a Receita pode encaminhar a diferença à Procuradoria da Fazenda Nacional para que esta cobre judicialmente o débito após inscrever em dívida ativa a difença GFIP - GPS. O arquivo gerado no SEFIP é encaminyhado também para o CNIS com informação dos valores de remuneração e contribuição de cada segurado trabalhador. Então você só deve se preocupar se a empresa não declarou você em GFIP ou se declarou com valor menor do que o trabalhador recebe de remuneração.. Ou se declarou a informação não chegou por algum problema de transmissão ao CNIS; Em tal caso você terá de retificar o CNIS apresentando no INSS provas do vínculo ou duma remuneração maior. Quanto à cobrança o problema é da Receita Federal não seu.
Legislação: Ler art. 29 A da lei 8213 de 24/7/1991

O empregador e o empregado contribuem para o inss, o empregador na sua cota patronal e o empregado quando é descontado 8 9 ou 11 por cento do seu salario, dependendo de sua remuneracao. Se seu empregador apenas nao pagou a sua contribuicao ele sonegou, agora se ele descontou a contribuicao da sua remuneracao e nao pagou o inss ele esta cometendo crime de apropriacao indebita previdenciaria. Enfim, ligue no 135 no inss e busque informacoes de sua situacao.
No entanto independente de sua situacao se voce esta trabalhando com carteira assinada, mesmo que seu empregador nao tenha contribuido com o inss, o inss nao podera lhe negar nenhum beneficio.
O trabalhador nao pode ser prejudicado por omissao ou má fé do empregador.