O que é despachar com o juíz?
Quando o advogado diz que vai "despachar com o juiz" quer dizer que "vai levar um papo", pedir algo, tentar agilizar a tramitação por exemplo.
Não é uma medida que garanta nada, não passando de uma tentativa.
Há juízes que se recusam a despachar com advogados (na verdade, o juiz só tem que despachar com seus assessores e diretor de secretaria), embora haja pressão, inclusive do STJ, para que jamais um juiz se negue a receber os advogados a qualquer tempo.
Costumo dizer, e esta é minha experiência pessoal, que é mais facil ser recebido por um Ministro ou Desembargador do que por um Juiz de primeiro grau.
Resumindo, não há relação entre o despacho e o ato jurisdicional a ser tomado.
Despachar, dependendo da cabeça do juiz, pode até ser contraproducente.