Deverá ser observado o pactuado no contrato sobre o prazo devendo cumprir integralmente, salvo ajuste. Se você deixar de pagar caberá execução contra o fiador da dívida devida.

Quero alugar outra..mas quero saber se posso ficar um mês na casa por conta da fiança

Se você pagou e ainda está no prazo no contrato poderá sim.

A fiança é somente a segurança do contrato. Caso saia antes do termo do contrato, poderá pagar multa do mesmo. Leia novamente seu contrato. A fiança não te exime do pagamento do aluguel. Converse com o proprietário do imóvel e veja o que ele pode fazer por você.