Entra com pedido de retificação de registro civil, com as devidas provas nos autos, inclusive de DNA para não gerar dúvidas.

Mas eu mesmo posso fazer isso, ou só através da defensoria pública?

Só através de um advogado.

Quanto tempo levaria um processo desse, é quanto seria às custas?

... é seria possível?

Impossível mensurar quanto tempo levaria um processo desses.

É variável de região a região, normalmente depende do órgão e das partes.