Há advogado acompanhando seu processo?

sim

Ele me diz que está acompanhando o processo de recuperação judicial e que é preciso aguardar o término do processo da recuperação para começar a pagar as habilitações dos créditos. Se a sentença foi dada o pagamento não deveria ser de imediato?

Se o advogado que acompanha o processo já deu uma informação, ninguém que não tenha acesso aos autos pode opinar de modo diverso.

Só quem tem acesso aos autos tem condições de saber o exato estado do processo e eventuais entraves que o possam estar atrasando.

Como autor, posso ter acesso ao auto do processo no cartório?

Sim.

Obrigado pela atenção, Dr. Hen!