Aluguei uma casa sem assinar o contrato, decidi não me mudar mais, devo pagar aluguel do mês seguinte?

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O primeiro ponto a esclarecer é que a existência de um contrato não pressupõe necessariamente um pedaço de papel assinado.

O contrato nesse caso existe sim, tratando-se de um contrato verbal, ou como alguns dizem vulgarmente, um contrato "de boca".

Primeiramente, você mesma alega e admite textualmente que "No dia 04/01 aluguei uma casa dando inicialmente o valor referente a um mês de aluguel adiantado". Caso não houvesse qualquer contrato de aluguel, e consequentemente uma relação jurídica, esse valor teria sido pago ao dono da casa a título de quê? De doação? De empréstimo?

Se de fato não houvesse contrato e nem obrigações, teríamos de admitir que o proprietário da casa teria inclusive de devolver o valor que a consulente alega ter pago a ele no dia 4/1, pois nesse caso ela teria feito um pagamento a ele sem qualquer embasamento jurídico, o que definitivamente não é o caso.

Considerada a existência do contrato verbal, que decerto vigorava por prazo indeterminado, a lei do inquilinato prevê que o locatário (inquilino) deve avisar a sua intenção de rescindir o contrato (com a entrega do imóvel) com pelo menos 30 (trinta) dias de antecedência, sob pena de ter de pagar um mês de aluguel (art. 6º, par. único).

Sendo assim, o aviso de entrega do imóvel feito em 31/01 equivale a dizer que a desocupação do imóvel se daria 30 dias depois, ou seja, por volta do dia 1 de março. Caso contrário, terá de pagar o equivalente ao mês cujo prazo de antecedência de 30 dias não foi respeitado, como se tivesse morado durante o mês de fevereiro.

Sendo assim, está correto o proprietário em cobrar o valor de um mês de aluguel.

E o fato de não ter se mudado não altera esse quadro, uma vez que o imóvel estava a sua disposição, e o contrato de locação plenamente vigente.