Antes de adentrar no conteúdo da questão, arrisco fundamentar uma breve introdução.
Extradição Ativa, para o Mestre Pedro Lenza, é a requisição do Estado brasileiro para um determinado Estado estrangeiro para a entrega de um certo indivíduo a outro Estado (livro: Direito Constitucional Esquematizado, 2014, pág. 1214).
Para o Dr. Romeu Tuma Júnior, extradição ativa é quando o Estado interessado é o Estado requerente, ou seja, é aquele que requer a entrega do indivíduo (www.conjur.com.br/2008-set-15/conceitos_principios_acordos_extradicao).
Retornando ao tema da questão, se o Supremo Tribunal Federal tem o papel ativo no que tange a extradição ativa, o ex-presidente e ex-ministro Joaquim Barbosa, em 7/2/2014 (na época, Presidente do STF), pronunciou que não cabe ao STF Papel ativo no processo de extradição – seja de Henrique Pizzolato condenado a 12 anos e 7 meses na ação penal n. 470. do mensalão e que fugiu para Itália, ou qualquer outro réu.
Nesse mesmo ínterim, o Ministro Celso de Mello – decano do STF e especialista em Direito Internacional – já afirmara não caber à mais alta corte brasileira requerer a extradição de Pizzolato – nem em face de sua condenação penal pelo Supremo, nem por causa de falsificação de documento (no caso, o passaporte) – mas cabe ao Poder Executivo requerer a extradição ativa, ou seja, à República Federativa do Brasil (https://www.jb.com.br/pais/noticias/2014/02/07/barbosa-nao-cabe-ao-stf-papel-ativo-em-extradicao/).
O Decreto-lei n. 394/38 estabelece que, quando se tratar de indivíduo reclamado pela justiça brasileira e refugiado em outro país, o pedido de extradição deverá ser transmitido ao Ministério da Justiça, que o examinará e, se julgar procedente, encaminhará ao Ministério das relações Exteriores para formalização da solicitação (cf. Ext 1.011, Rel. Ministro Eros Grau, decisão monocrática, j. 10.102005,DJ de 25.10.2005)(Livro: Direito Constitucional Esquematizado, 2014, pág. 1214).
Concluindo, o STF não tem o papel ativo no processo de extradição, e o Ministério da Justiça não precisa do aval do STF para requerer tal extradição.