Não tenho total conhecimento sobre a lei, mas acredito que se a pessoa foi exonerada por pedido proprio ela pode tomar posse em outro concurso. Agora se ela foi exonerada porque o orgão público exonerou aí ela fica impedida mesmo. Se não me engano está na Lei 8112.

Depende do motivo da exoneração e a qual poder está se referindo, pois União, Estado e Municípios tem legislações próprias.

Não se trata de exoneração, mas sim de demissão.

Na esfera administrativa, ao contrário da CLT, quando falamos em DEMISSÃO de servidor público, estamos nos referindo sempre a uma PENALIDADE pelo cometimento de alguma infração funcional. Diferentemente, a exoneração é ato de desligamento do servidor por motivos diversos (exoneração a pedido, exoneração de ofício por inabilitação no estágio probatório etc.).

Na esfera federal, a Lei 8112/90 incompatibiliza o retorno do ex-servidor em virtude de DEMISSÃO (pena), e não de exoneração. E ainda que haja demissão, não é qualquer fundamento demissional que inviabiliza o retorno, mas somente em casos considerados mais graves pela lei:

"Art. 137. A DEMISSÃO ou a destituição de cargo em comissão, por infringência do art. 117, incisos IX e XI, incompatibiliza o ex-servidor para nova investidura em cargo público federal, pelo prazo de 5 (cinco) anos.

                      Art. 117.  Ao servidor é proibido:
                      IX - valer-se do cargo para lograr proveito pessoal ou de outrem, em detrimento da dignidade da função pública;
                      XI - atuar, como procurador ou intermediário, junto a repartições públicas, salvo quando se tratar de benefícios previdenciários ou assistenciais de parentes até o segundo grau, e de cônjuge ou companheiro; 

Parágrafo único. Não poderá retornar ao serviço público federal o servidor que for DEMITIDO ou destituído do cargo em comissão por infringência do art. 132, incisos I, IV, VIII, X e XI."

                       Art. 132.  A demissão será aplicada nos seguintes casos: 
                       I - crime contra a administração pública; 
                      IV - improbidade administrativa;
                      VIII - aplicação irregular de dinheiros públicos; 
                      X - lesão aos cofres públicos e dilapidação do patrimônio nacional;
                      XI - corrupção; 

Veja que em nenhum momento a referida lei fala em incompatibilidade de retorno do ex-servidor por exoneração, mas sim por demissão, uma vez que ela (a demissão) é sempre pena.

E os estatutos estaduais e municipais, via de regra, seguem a mesma diretriz da lei federal citada, com algumas poucas alterações.

Então, um servidor público que foi EXONERADO por não haver satisfeito as condições do estagio probatorio pode vir a prestar concurso novamente para o mesmo cargo na mesma instituição e não ser impedido de tomar posse?

Não há nada na lei (ao menos na lei federal) que traga esse impedimento.