Aqui temos de diferenciar o crime de desacato (art. 331 do CP) do crime de desobediência (art. 330 do CP).
Se o promotor (ou qualquer agente público), no exercício de suas funções é menosprezado, humilhado, diminuído no exercício das funções, o crime é de desacato. Ou seja: "desacato" pressupõe "ofensas".
Se ele não estiver no exercício das funções (estiver resolvendo uma questão particular por exemplo), ou as ofensas não ocorrerem em razão dessas funções, não há crime de desacato. Pode haver, no máximo, crime contra a honra (injúria, calúnia ou difamação), o que, em tese, também possibilitaria a voz de prisão em caso de flagrante.
Por outro lado, se o fundamento da prisão é o "não acatamento" de uma ordem, ou seja, ele dá uma ordem, e ela não é cumprida, não estaríamos falando de desacato, mas sim, em tese, de desobediência.
E ainda que ele esteja no exercício das funções, para que se configure qualquer dos dois crimes (desacato ou desobediência), o ofensor tem de ter a ciência prévia de que se trata de um agente público, pois se ele não tiver essa ciência, os crimes não se configuram, em razão de erro de tipo (art. 20 do CP), uma vez que não há desacato e nem desobediência culposos.
O fundamento para a prisão, se ocorrente o crime, é o Código de Processo Penal:
"Art. 301. Qualquer do povo poderá e as autoridades policiais e seus agentes deverão prender quem quer que seja encontrado em flagrante delito."