No momento nenhum direito. Tem duas opções, a primeira acrescentar seu sobrenome na certidão de seu enteado, a segunda seria um processo de adoção cuja possibilidade há que ser analisada no caso concreto. Caso opte pela segunda opção, deve constituir advogado para análise. Saudações,

Mais não terá problemas futuros se eu registralo em meu nome?

Você não pode registrar a criança como sendo sua filha. O máximo que você pode ser é pai socioafetivo. Ou, como diz o colega, pode tentar adotar a criança.

Esclarecendo que não irá registra-lo em seu nome, mas sim ingressar com ação de retificação de registro civil adicionando o seu sobrenome, a filiação no caso não seria alterada. Caso deseje alterar a filiação, apenas por adoção.