No sistema de amortização francês os juros são capitalizados?

Pretende-se no presente trabalho responder à pergunta acima, por meio de um exemplo ilustrativo concernente as vendas em prestações iguais e periódicas. Nosso objetivo é, por meio do exemplo ilustrativo, refutar as afirmações do Sr. Cezar Junior da Silva Souza, no seu artigo intitulado: O Anatocismo e a Matemática Financeira, publicado na Revista Jus Navigandi.

Vejamos o que diz o autor:   

“Muitos dizem que a Tabela Price pratica anatocismo, porem, isso é um equivoco. Como se pode perceber, os juros são calculados tendo como base os juros simples e respeitando o conceito de juros, que é a remuneração do capital e por isso, incide sobre o capital (saldo devedor). Os juros são pagos primeiramente em cada parcela e por isso não se acumulam para gerar a base de cálculo do período seguinte, e por isso, não é cobrado juros sobre juros (anatocismo).

Outro detalhe que faz com que muitos pensem que a Tabela Price comete o anatocismo é o fato de usar juros compostos no cálculo da prestação. O uso de juros compostos para determinar o valor da prestação somente acontece para deixar a prestação idêntica do início ao fim do contrato, respeitando-se a taxa contratada e o conceito do valor do dinheiro no tempo. Por isso usa-se a teoria dos juros compostos; caso contrario, a taxa seria desrespeitada. Do ponto de vista cientifico a Tabela Price é perfeita, pois respeita todos os princípios da matemática financeira.

É importante salientar que, tanto a Tabela Price quanto a SAC, respeitam todos os princípios da matemática financeira, bem como a legislação, pois não cometem o anatocismo. Isso vale, é claro, se forem utilizadas corretamente.” (sic).

EXEMPLO ILUSTRATIVO

Uma loja vende um produto, de 2,5 quilos, contendo cinco pacotes de 500 gramas por R$1.000,00 à vista ou em cinco prestações iguais e mensais. Se a loja cobra uma taxa de 5% a.m., qual o preço à vista de cada pacote de 500 gramas?

Resolução:

Seja: R = valor de cada prestação do produto contendo os cinco pacotes

PV = Valor presente ou valor à vista do produto contendo os cinco pacotes  

n = Número de prestações

i =  Taxa de juros

Dados: PV = R$1.000,00

n = 5

i = 5% a.m.(Taxa na forma percentual) = 0,05 (Taxa na forma unitária)

R = ?

Como , logo,

Substituindo os dados, obtém-se:

O valor de cada prestação do pacote de 2,5kg é  R$230,97.

O preço à vista de cada pacote de 500 gramas corresponde ao valor presente de cada prestação.

O valor futuro e o valor presente de cada prestação são dados pelas fórmulas de juros compostos:

     ou   (Juro sobre juro, para n > 1)

Na qual: VF_R = Valor futuro da prestação

VP_R = Valor presente ou valor à vista de cada prestação

n = Número de  períodos

i = Taxa de juros

Cálculo do Valor à vista do pacote de 500g correspondente à 1ª prestação:

Dados: VF_R = R$230,97

n = 1

i = 5% a.m. = 0,05

(Juros simples, n  =  1)

Cálculos do valor à vista dos pacotes restantes para n > 1 (Juro sobre juro)

Cálculo do Valor à vista do pacote de 500g correspondente à 2ª  prestação:

Dados: VF_R = R$230,97

n = 2

i = 5% a.m. = 0,05

Cálculo do Valor à vista do pacote 500g correspondente à 3ª  prestação:

Dados: VF_R = R$230,97

n = 3

i = 5% a.m. = 0,05

Cálculo do Valor à vista do pacote de 500g correspondente à 4ª  prestação:

Dados: VF_R = R$230,97

n = 4

i = 5% a.m. = 0,05

 Cálculo do Valor à vista do pacote de 500g correspondente à 5ª  prestação:

Dados: VF_R = R$230,97

n = 5

i = 5% a.m. = 0,05

Soma total =  R$219,97 + R$209,50 + R$199,52 + R$190,04 + R$180,97 = R$1.000,00.

A soma acima pode ser obtida da seguinte maneira:

O valor de cada prestação é dado por:

1ª prestação: 219,97(1,05)¹ = 230,97 (Juro simples)

2ª prestação: 209,50(1,05)² = 230,97 (Juro sobre juro)

3ª prestação: 199,52(1,05)³ = 230,97 (Juro sobre juro)

4ª prestação: 190,04(1,05)⁴ = 230,97 (Juro sobre juro)

5ª prestação: 180,97(1,05)⁵ = 230,97 (Juro sobre juro)

Cálculo dos juros embutidos em cada prestação:

1ª prestação: R$230,97 – R$219,97 = R$11,00  (Juro simples)

2ª prestação: R$230,97 – R$209,50 = R$21,47 (Juro sobre juro)

3ª prestação: R$230,97 – R$199,52 = R$31,45  (Juro sobre juro)

4ª prestação: R$230,97 – R$190,04 = R$40,93  (Juro sobre juro)

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5ª prestação: R$230,97 – R$180,97 = R$50,00  (Juro sobre juro)

 Total dos juros: R$11,00 + R$21,47 + 31,45 + 40,93 + R$50,00 = R$154,85

     Tabela 1. Planilha de amortização pelos juros cobrados sobre as prestações

Vamos amortizar os R$1.000,00 pelo Sistema de Amortização Francês (SAF), com a taxa de 5% a.m. e comparar os juros cobrados sobre o saldo devedor com os juros cobrados sobre as prestações.

Tabela 2. Planilha de amortização pelo SAF

CONCLUSÕES

Pelos resultados obtidos, pode-se tirar as seguintes conclusões:

Em todas as prestações, com exceção da 1ª, está embutido juro composto.

No SAF o juro incide linearmente sobre o saldo devedor (SD), enquanto o juro embutido em cada prestação, com exceção da 1ª, incide exponencialmente, ou seja, juro sobre juro 

Invertendo as colunas das amortizações e dos juros da tabela 1 e em seguida subtraindo cada amortização do saldo devedor, obtém-se a planilha de amortização pelo SAF (Tabela 2).

As amortizações no SAF estão em progressão geométrica de razão  (1 + i), ou seja, no   presente exemplo a razão é 1,05. Como a amortização de ordem k é dada por: A_K = A_{K – 1}(1 + i)^{K – 1} , logo, com exceção do 1º período, as amortizações crescem exponencialmente.   

No SAF o juro de ordem k é dado por: J_K = (SD_{K – 1})xi (linear), mas o mesmo juro de ordem k pode ser obtido por: J_K = R – A_K (Exponencial). Por que é exponencial? Porque se  mostrou, anteriormente, que o juro embutido em cada prestação, com exceção da 1ª, incide exponencialmente, ou seja, juro sobre juro. É nesse artifício matemático onde está escondido o juro sobre juro de cada prestação, com exceção do juro da 1ª prestação.