O Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) e o Sistema de Amortização Constante (SAC) não cometem o anatocismo, e ainda, respeitam todos os princípios da matemática financeira principalmente o conceito universal de juros e a taxa contratada. Caso a ferramenta seja utilizada de forma errada, o erro caberá a quem a utilizou erradamente e não da ferramenta em si.

INTRODUÇÃO

No primeiro mandato do presidente Getulio Vargas, mais precisamente em 07 de abril de 1933 foi criado o decreto n.º 22.626, o qual ficou conhecido como lei de usura.

Em seu 4º artigo, onde diz que "é proibido contar juros dos juros", o então ministro da fazenda Oswaldo Aranha, que criou o decreto, não imaginaria que tal artigo, tão simples e objetivo, geraria tantas polêmicas e discussões jurídicas quanto às operações financeiras.

Juros sobre juros, proibida pela lei de usura, é conhecida no meio jurídico como Anatocismo. A polêmica criada se dá porque os conceitos não são bem interpretados.

A polêmica tem crescido, acerca da existência do anatocismo, em algumas metodologias utilizadas no sistema financeiro, fazendo com que surgissem uma grande quantidade de publicações para contribuir com o assunto. A polêmica é maior quando se trata da Tabela Price (Sistema de Amortização Francês).

Assim, com o intuito de contribuir com o tema, o presente artigo tem como objetivo principal dissertar sobre alguns princípios básicos da matemática financeira e assim, como base nos princípios, analisar alguns métodos utilizados em pericias, bem como a Tabela Price e o SAC.

Antes de aprofundarmos o estudo, é preciso tomar nota de alguns conceitos inerentes a ciência da matemática financeira para a correta compreensão do artigo.


CONCEITOS BÁSICOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA

O conceito de juros é tão simples e fácil de ser entendido que dificilmente é encontrado nos livros de matemática financeira. Geralmente os autores focam-se em outras premissas, por se tratar de algo tão óbvio. Vejamos alguns conceitos encontrados.

Vieira Sobrinho diz que juro é: a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro (SOBRINHO, 2010).

Assaf Neto define juros como: o preço pago pelo aluguel do dinheiro, ou seja, o valor que deve ser pago pelo empréstimo de um capital (ASSAF NETO, 2005).

Então juros são definidos como sendo o valor a pagar pelo uso do capital; ou seja, a remuneração do capital. Tal como um inquilino que paga o aluguel sobre o uso de um imóvel e depois o devolve ao seu proprietário, o tomador do empréstimo faz o mesmo.

Aqui tomamos nota do primeiro conceito básico: que os juros são a remuneração do capital.

Conceito que nos faz concluir: os juros deverão ser aplicados sobre o capital, respeitando assim a fórmula universal de cálculo dos juros que é o resultado da multiplicação do Capital pela taxa de juros, conforme abaixo:

Onde: j é o valor monetário dos juros, C é o capital e i é a taxa de juros.

A taxa de juros é o instrumento que regula a alocação de capital entre investidores e tomadores de empréstimo. É dada em valor percentual, sendo seu resultado a proporção dos juros em relação ao capital emprestado ou o valor do investimento. Podem ser pré-fixadas, onde são conhecidas no início do contrato financeiro; ou pós-fixadas, quando não são conhecidas no início do contrato financeiro e geralmente tem o seu valor conhecido com base em algum indicador econômico.

Para o tomador do empréstimo a taxa é de juros; já para quem empresta a taxa é a de retorno. Ou seja, para um tomador de empréstimo, a taxa determinará os juros a serem pagos; e ao emprestador, a taxa é a de retorno, pois representa o ganho sobre o seu capital. No entanto em uma operação de empréstimo com a taxa de juros pré-fixada, o tomador deverá pagar os juros conforme o contrato, fazendo assim com que o emprestador tenha a taxa de retorno idêntica à taxa de juros contratada.

O conceito de juros está bem fixado como sendo a remuneração do capital, mas o que é capital?

Em economia, o conceito de capital está ligado aos fatores de produção.É um conceito amplo! Mas na matemática financeira "capital é entendido como qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época" (SOBRINHO, 2010). Entendemos aqui que capital é expresso em valor, onde nas operações financeiras pode ser um bem, no caso de financiamento de veículos, imóveis, máquinas e equipamentos, etc.; ou simplesmente dinheiro, seja em operações de investimento em fundos, poupanças ou empréstimos. Também conclui que o seu valor muda com o passar do tempo, por isso o termo "disponível em determinada época".

Para entendermos melhor, é preciso compreender e analisar o valor do dinheiro ao longo do tempo que é o objetivo principal da matemática financeira. Esse conceito diz, em suma, que certo valor, hoje e no futuro, são diferentes. Isso é fácil de ser entendido, se lembrarmos das altas inflações enfrentadas no Brasil antes do plano real. Dispor de certa quantia hoje para receber no futuro envolve certo sacrifício, onde o valor será afetado por diversos fatores.

Sendo assim, esse sacrifício deverá ser remunerado com juros. A taxa que for determinada deverá ser eficiente para cobrir: o risco de inadimplência, as perdas referentes à inflação e também compensar a privação do proprietário do capital em investir em novas oportunidades.

Então podemos afirmar que, no início de uma operação financeira, o capital é o valor presente (PV); durante a operação, é o saldo (credor ou devedor); e no final, é o valor futuro (FV).

Entende-se por valor presente o valor disponível no momento 0 (zero) da operação, ou seja no início. E por valor futuro o valor disponível no final da operação.


CAPITALIZAÇÃO: SIMPLES E COMPOSTA

Entende-se por capitalização a incorporação ou incidência de juros sobre o capital, onde os juros são determinados por dois regimes de capitalização: a simples e a composta.

Segundo Dutra, a capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. Já a capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. (VIEIRA SOBRINHO, 2010).

É muito importante fixar esses conceitos, pois são os responsáveis acerca de toda polemica criada nos conflitos judiciais. O Anatocismo é realizado quando acontece a capitalização composta dos juros, ou simplesmente, contar juros dos juros.

Para melhor entendimento, veremos o exemplo a seguir:

Exemplo- Qual o valor a ser resgatado, em uma aplicação financeira de R$ 10.000,00, a taxa de 1% a.m., por um período de 12 meses? O resgate é único no final do período contratado:

Onde, PV é o valor presente, i é a taxa de juros e n o período. O valor futuro será determinado pelos dois regimes de capitalização.

Vejamos que na capitalização composta os juros do período anterior são acumulados no capital e, como não são pagos acaba ocorrendo o anatocismo.

Agora veremos que na capitalização simples os juros são cobrados apenas sobre o capital inicial.

Usando os dois regimes de capitalização, encontramos dois valores distintos. Na capitalização composta o valor do resgate encontrado foi de R$ 11.268,25 ;enquanto que na capitalização simples foi de R$ 11.200,00.

Para melhor entendermos os dois regimes, iremos fazer uma análise, utilizando-se o VPL à taxa contratada. Vejamos sua fórmula.

Onde: FCj é o fluxo de caixa do período (entrada ou saída de caixa) no nosso caso ó o valor futuro, o FC0 é o fluxo de caixa inicial, no nosso caso é o valor da aplicação, o i é a taxa de juros (1% am) e o n é o período (12 meses).

Substituindo os valores encontrados no regime de capitalização composta:

Substituindo os valores encontrados no regime de capitalização simples:

No regime de capitalização composta o valor do VPL encontrado foi de R$ 0,00 (zero) e no regime de capitalização simples o VPL encontrado foi de R$ - 60,57 (sessenta reais e cinqüenta e sete centavos negativos). Isso quer dizer que, na capitalização composta, embora ocorresse o anatocismo, a taxa utilizada foi cumprida e no regime de capitalização simples, não.

Nas operações financeiras os dois sistemas são utilizados. A questão principal é usá-los nas operações certas. Nesse exemplo demonstrado, idêntico ao que acontece na poupança, o correto é utilizar o regime de capitalização composta; tanto o é que, é o modelo realmente utilizado nessas operações. Caso o regime utilizado fosse o de capitalização simples, o tratamento correto do valor do dinheiro no tempo não seria aplicado e isso foi comprovado no exemplo estudado, pois resultou em um VPL negativo.

Agora veremos os dados dos exemplos anteriores em outras operações financeiras.

Nesse exemplo, como não tem pagamentos intermediários, os juros vão se acumulando, evitando assim distorções provenientes do tempo e da taxa de juros no capital. Como já sabemos que o VPL desse exemplo é zero, quer dizer que tal operação respeitou a taxa contratada de 1% a.m.

Agora veremos os mesmos dados em outro exemplo, onde o valor principal será devolvido no final do contrato e os juros serão pagos periodicamente. Este exemplo é idêntico ao que acontece nas "contas garantidas", largamente utilizadas no Mercado Financeiro Brasileiro.

No exemplo da tabela 3, foi encontrado um único pagamento que resultou em R$ 11.268,25, e no da tabela 4 houve vários pagamentos que totalizaram R$ 11.200,00, agora veremos as análises do valor presente liquido para verificarmos se houve distorções do capital.

Vejamos que, embora os valores fossem diferentes, a taxa encontrada foi à mesma, como isso pode acontecer?

Aconteceu por causa do conceito principal da matemática financeira, que é o valor do dinheiro no tempo. Embora, no exemplo da tabela 4 o valor do pagamento foi menor e como os pagamentos dos juros ocorreram periodicamente, resultou-se em menos juros no final, embora a taxa fosse a mesma. No exemplo da tabela 3, como não houve pagamento intermediário, ocorreu o anatocismo, onde valor dos juros foi maior para premiar o tempo de espera, mas a taxa permaneceu a mesma.

Assim sendo, pode-se concluir que o não pagamento dos juros implica no anatocismo; ou seja, quando os juros não são pagos, eles são contabilizados na base de cálculo dos juros do período seguinte, e assim sucessivamente até a quitação da operação financeira, ocorrendo o anatocismo ou capitalização dos juros.


SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (TABELA PRICE)

O Sistema de Amortização Francês, mais conhecido no Brasil como "Tabela Price" é de longe o mais utilizado no sistema financeiro nacional.

Segundo Pereira, o termo Tabela Price deve-se ao Matemático Inglês Richard Price, que no século XVIII incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos (ou financiamentos). Já o termo Sistema Francês deve-se ao fato de tal ferramenta ter se desenvolvido na França no século XIX. (PEREIRA apud VIEIRA SOBRINHO, 2010).

Tal sistema de amortização consiste em um plano de pagamento de um empréstimo ou financiamento, em prestações iguais e periódicas, composta de juros e amortizações (devolução do capital). O cálculo da prestação é obtida através da fórmula abaixo.

Já os juros são calculados com base nos juros simples, apenas multiplicando a taxa contrata pelo saldo devedor do período imediatamente anterior. E a amortização será a diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros. Vamos verificar como fica o nosso exemplo na Tabela Price.

A seguir, faremos o cálculo da prestação:

Encontrado o valor das prestações, devemos fazer a composição do exemplo nas 12 prestações.

Como falado anteriormente, os juros são calculados utilizando-se da metodologia de juros simples, multiplicando o capital (ou saldo devedor) pela taxa contratada. Tomemos o primeiro mês como exemplo: o saldo devedor no primeiro mês é o saldo devedor do período anterior, ou seja, nesse caso o valor contratado (R$ 10.000,00) onde multiplicado pela taxa contrata (1%) terá o valor dos juros na primeira prestação de R$ 100,00. A amortização é determinada através da diferença entre a prestação (R$ 888,49) e os juros (R$ 100,00) que resulta em R$ 788,49.

Muitos dizem que a Tabela Price pratica anatocismo, porem, isso é um equivoco. Como se pode perceber, os juros são calculados tendo como base os juros simples e respeitando o conceito de juros, que é a remuneração do capital e por isso, incide sobre o capital (saldo devedor). Os juros são pagos primeiramente em cada parcela e por isso não se acumulam para gerar a base de cálculo do período seguinte, e por isso, não é cobrado juros sobre juros (anatocismo). O artigo 354 do Código Civil Brasileiro diz que:

"Art. 354. Havendo capital e juros, o pagamento imputar-se-á primeiro nos juros vencidos, e depois no capital, salvo estipulação em contrário, ou se o credor passar a quitação por conta do capital".

Ou seja, de acordo com o que se define na lei, a Tabela Price primeiro quita os juros e por esse simples motivo eles não se acumulam; não se acumulando não são somados na base de cálculo dos juros do período seguinte e por isso não ocorre o anatocismo..

Vimos que só ocorre cobrança de juros dos juros quando não acontece o pagamento. Como na Tabela Price eles são pagos então, não são capitalizados e, portanto, "a Tabela Price não comete o anatocismo".

Outro detalhe que faz com que muitos pensem que a Tabela Price comete o anatocismo é o fato de usar juros compostos no cálculo da prestação. O uso de juros compostos para determinar o valor da prestação somente acontece para deixar a prestação idêntica do início ao fim do contrato, respeitando-se a taxa contratada e o conceito do valor do dinheiro no tempo. Por isso usa-se a teoria dos juros compostos;caso contrario, a taxa seria desrespeitada. Do ponto de vista cientifico a Tabela Price é perfeita, pois respeita todos os princípios da matemática financeira.


SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE

O sistema de amortização constante é extremamente simples de se calcular, e é mais utilizado em financiamentos habitacionais.

Como diz no seu nome, a amortização é constante; é determinada através da divisão do capital (valor emprestado) pela quantidade de prestações. Os juros são calculados exatamente como na Tabela Price, e o valor da prestação é determinado através da somatória dos juros e do capital. Nesse sistema, a prestação não é fixa, e muda de período a período. Como o empréstimo é amortizado de forma constante, o valor dos juros diminui e, conseqüentemente, a prestação também.

Portanto, primeiro devemos encontrar o valor da amortização através do cálculo abaixo.

 

Agora veremos abaixo como é a composição de um empréstimo utilizando o Sistema de Amortização Constante (SAC).

Vejamos que nesse sistema a amortização é realmente constante. A prestação diminui período a período, e os juros também, e como são pagos periodicamente não acontece a cobrança de juros sobre juros.

Vejamos que o cálculo dos juros é idêntico ao calculado na Tabela Price, e, portanto respeita o artigo 354 do Código Civil Brasileiro, respeita o conceito universal de juros que é a remuneração do capital, e nunca é demais citar "o Sistema de Amortização Constante não comete o anatocismo".

Mas podemos perceber que o valor total de juros pagos na Tabela Price é de R$ 661,85 (seiscentos e sessenta e um reais e oitenta e cinco centavos) e enquanto na SAC é de R$ 650,00 (seiscentos e cinqüenta reais). Porque isso acontece? Se ambos respeitam a taxa contratada porque na SAC os juros são menores?

Isso acontece por causa do objeto principal de estudo da matemática financeira que é o valor do dinheiro no tempo. Podemos perceber que na SAC, as prestações são maiores no início e, conseqüentemente, a amortização também é maior e por isso paga-se menos juros, pois o capital é devolvido mais rápido do que na Tabela Price.

Porem, na Tabela Price, as prestações são fixas e, conseqüentemente, paga-se mais juros; premiando dessa forma o proprietário do capital, pela espera da devolução desse capital com juros, e também beneficia o mutuário (tomador de empréstimo), com prestações menores no início do que comparado com a SAC, o que pode ser de muito valia, caso o mutuário não disponha de muitos recursos no início do contrato. Sobre esse assunto Azevedo (2001) diz que ao utilizar a SAC, o acesso ao crédito é restringido por se utilizar da amortização constante e prestações decrescentes, ocasiona em prestações maiores no início, reduzindo a capacidade de pagamento de quem o contrata e conseqüentemente reduzindo o valor do empréstimo possível.

É importante salientar que, tanto a Tabela Price quanto a SAC, respeitam todos os princípios da matemática financeira, bem como a legislação, pois não cometem o anatocismo. Isso vale, é claro, se forem utilizadas corretamente.

A seguir faremos uma comparação da Tabela Price e SAC com outros métodos utilizados em Perícias.


Autor


Informações sobre o texto

Como citar este texto (NBR 6023:2002 ABNT)

SOUZA, Cezar Junior da Silva. O anatocismo e a matemática financeira. Revista Jus Navigandi, ISSN 1518-4862, Teresina, ano 16, n. 3070, 27 nov. 2011. Disponível em: <https://jus.com.br/artigos/20445>. Acesso em: 19 nov. 2018.

Comentários

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    Belmiro Valente

    Mais uma vez, um texto cheio de inverdades e imprecisões que "prova" um absurdo a partir de cálculos equivocados e raciocínios circulares (aquele que se parte de onde se quer provar e se chega à "prova", isto é, ao ponto de partida).
    É evidente que juro composto, por definição, é sinônimo de anatocismo.
    As próprias fórmulas do valor futuro a juro composto em relação ao valor futuro a juros simples revela isso:
    Juro composto:
    FVn = PV.(1+i)n = PV.(1 + [n 1].i + [n 2].i2 + ... + [n n].in)
    Juro simples:
    FVn = PV.(1+i.n)
    A diferença é o chamado anatocismo, são todos os termos onde o expoente de i (taxa de juros) é maior do que 1:
    Anatocismo = PV.([n 2].i2 + ... + [n n].in)

    De resto, o "VPL negativo" é uma amostra do raciocínio circular.
    O valor futuro a juros compostos é 10000(1+0,01)12
    Você pegou o valor futuro a juros simples, que é 10000
    (1+0,0112), e dividiu este pelo outro. É claro que vai dar um número menor do que 1, o que é evidente e não prova nada (já que o anatocismo faz o valor futuro a juros compostos sempre maior do que o valor futuro a juros simples):
    10000
    ( (1+0,01*12) / (1+0,01)12 - 1) < 0

    Você pode até defender, o que não é incorreto, que o cálculo com juros compostos, isto é, o anatocismo, é a forma que preserva o investimento dentro da lógica do reinvestimento automático no fim do período de capitalização, como ocorre nas poupanças, por exemplo.
    Agora, dizer que a Tabela Price e todos os demais cálculos que envolvem juros compostos não praticam anatocismo, simplesmente, é atentar contra a mais simples aritmética.
    Você vê um monte de gente fazer isso, e fazer essas falsas provas, agora, você nunca vai ver um Matemático dizer esse tipo de - desculpe - absurdo.

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    fernando mucci

    Segundo a s folhas 148 e 149 do livro citado demonstram matematicamente como calcular a Taxa Interna de Retorno - TIR em Guass , a taxa apurada será igual a taxa contratada.

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    fernando mucci

    Primeiro seria interessante vc lero livro Tabela Price - Mitos e Paradigmas do autor José Jorge Meschiatti Nogueira fl 19 - Reprodução do Thesaurus do STJ sinõnimo para juros composto =capitalização de juros = juro capitalizado , anatocismo.

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    Cezar Junior da Silva Souza

    Gratidão Leonardo pelo comentário, esses métodos paralelos são elaborados pela indústria do Laudo pelas razões apontadas por ti no comentário. Muito obrigado e um ótimo 2015 para você.

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